Teoria de conjuntos y tecnicas de conteo
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos, es decir, son varios elementos representativos ya sean cualitativos o cuantitativos que justos conforman un conjunto.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión.
Un conjunto es una colección de elementos ya sean numéricos o característicos y se representan por letras mayúsculas: A,B,C...
Por ejemplo:
A={1,2,3,4,5,6,} y también B={2,4,6,8,9}
Estos pueden ser:
Explícitos: (escribe cada elemento)
A={3,6,9,12,15}
Implícitos (Escribe las características de los elementos)
A={Múltiplos de 3}
Enfocados en los elementos existe la relación de pertenencia (є)
Se refiere a que dicho elemento pertenece a un tal conjunto:
a є A = a pertenece al conjunto A
Y cuando no pertenece es (є)
En el siguiente vídeo podemos ver algunos ejemplos de la teoría de conjuntos y lo que las conforma para su mayor comprensión
A continuación se explican...
La igualdad de conjuntos se expresa cuando existen los mismos elementos que hay en otro conjunto A=B
Los subconjuntos se dan cuando existen lo elementos de un conjunto dentro de otro conjunto
A={3,6,9,12} y B={3,9} Entonces B es subconjunto de A
Luego se encuentran los conjuntos especiales como:
El conjunto vacío (carece de elementos)
A={} o también A={La existencia de los animales extinguidos}
El conjunto universal (Población a la que pertenece)
El conjunto universo (Posibles elementos para formar conjuntos) se denomina con la letra U
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
- Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos. (Unión de los elementos que están en A y en B)
Por ejemplo:
A={1,2,3,4,5,6} y B={2,4,6,8,10} entonces A U B ={1,2,3,4,5,6,8,10}
- Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
Por ejemplo:
A={1,2,3,4,5,6} y B={2,4,6,8,10} entonces A ∩ B ={2,4,6}
Explicación de union e interseccion
- Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
Por ejemplo:
A={1,2,3,4,5,6} B={2,4,6,8,10} y U={7,9} entonces A∁ ={7,8,9,10}
- Diferencia: Prácticamente es la resta de conjuntos, cuando a un conjunto A se les restan los elementos que están en B
A={2,4,6,8,10} y B={8,10,12} entonces A-B={2,4,6}
- Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez
Para comprender mejor la diferencia, la diferencia simetrica y el complemento podran verlos en el siguiente video
Una vez que tenemos comprendida la teoría podremos ver los temas que le siguen e involucran su funcionamiento practico:
Las técnicas de conteo
Son procedimientos algebraicos que se usan para conocer el numero de los posibles resultados de un experimento, sin enumerarlos.
Nos sirven para conocer el numero de muestras (opciones) que podemos extraer de un conjunto, sin que tengamos que contarlas una por una.
Una de ellas es el llenado de cajas:
En este método se toma en cuenta cuantas decisiones vamos a tomar en cuenta y cuantas opciones hay dentro de cada decisión
Supongamos:
Tiene 3 camisas A, B, y C, y 4 pares de pantalones w , x , y , y z. Entonces Usted tiene 2 decisiones, la primera con 3 opciones y la segunda con 4, por lo tanto
3 × 4 = 12
- El diagrama de árbol
Es una técnica gráfica empleada para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un numero finito de veces.
Tenemos 3 preguntas en las que solo es posible contestar con falso y verdadero
- Análisis combinatorio
Este analiza los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos.
